Besov Regularität von parabolischen partiellen Differentialgleichungen auf Lipschitz Gebieten

Das Vorhaben beschäftigt sich mit der Regularitätstheorie parabolischer partieller Differentialgleichungen (PDEs) auf Lipschitzgebieten. Ziel ist es, die Regularität der Lösungen solcher Gleichungen in bestimmten Skalen von Besov-Räumen zu untersuchen, welche die Approximationsordnung von adaptiven und anderen nichtlinearen Approximationsmethoden bestimmen. Es soll gezeigt werden, dass die Besov-Regularität in den zu untersuchenden Fällen groß genug ist um den Einsatz von adaptiven Verfahren (verglichen mit nicht-adaptiven Verfahren) zu rechtfertigen. Wir beschäftigen uns hierbei hauptsächlich mit Approximationsmethoden basierend auf Wavelets.

Startpunkt ist die Verbesserung bereits bekannter Resultate für die Wärmeleitungsgleichung, welche wir anschließend erweitern wollen auf lineare parabolische PDEs mit variablen Koeffizienten sowie nichtlineare parabolische PDEs. Es soll außerdem gezeigt werden, dass bei Einschränkung der allgemeinen Lipschitzgebiete auf Polygone und Polyeder eine noch höhere Besov-Regularität erreicht werden kann.

Da die auf diese Weise erhaltenen Konvergenzraten noch abhängig von der Raumdimension sind, soll in einem weiteren Teil die Regularität der parabolischen PDEs in verallgemeinerten Funktionenräumen mit dominierenden gemischten Glattheitseigenschaften untersucht werden. Indem man nun Tensorwavelets benutzt erhält man auf diese Weise Konvergenzraten, welche unabhängig von der Dimension des zugrundeliegenden Gebietes sind.