Existence and regularity for parabolic quasi minimizers on metric measure spaces

Ziel des Projektes ist es, einen substantiellen Beitrag zur Existenz und Regularität für Lösungen von nichtlinearen parabolischen Minimierungsproblemen auf allgemeinen metrischen Maßräumen zu leisten. Dabei soll ein systematischer Zugang zur Verallgemeinerung eines Resultates von A. Grigor'yan und L. Saloff-Coste über den Zusammenhang von Lösungen der Wärmeleitungsgleichung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten und der Gültigkeit von Harnack-Ungleichungen gefunden werden. Eine Verallgemeinerung des Resultats soll in zweierlei Hinsicht erfolgen: Zum Einen sollen anstatt Riemannscher Mannigfaltigkeiten metrische Maßräume betrachtet werden, deren Maß mittels einer Verdopplungseigenschaft an die Metrik gekoppelt ist und die eine Poincaré-Ungleichung tragen. Zum Anderen sollen anstatt der (linearen) Wärmeleitungsgleichung nunmehr nichtlineare parabolische Probleme untersucht werden. Zentrale Schwierigkeiten bei der Bearbeitung des Projektes liegen einerseits in der sehr allgemeinen Struktur der zu untersuchenden Räume, andererseits in der Nichtlinearität der betrachteten Differentialgleichungen bzw. Integralfunktionale begründet. Die Struktur des metrischen Maßraumes lässt weder die Definition von "Richtung" noch von "partieller Integration" zu, sodass man keinen brauchbaren Ableitungsbegriff zur Verfügung hat. Damit ist aber auch die Formulierung partieller Differentialgleichungen in diesem Kontext nicht mehr sinnvoll. Stattdessen arbeitet man mit sog. "oberen Gradienten", die angelehnt an eine Charakterisierung von Sobolev-Funktionen im euklidischen Raum durch zur Potenz p integrierbare Vektorfelder erfolgt. Obere Gradienten sind zumindest geeignet, um an Stelle von Differentialgleichungen nunmehr Minimierungsprobleme auf metrischen Maßräumen zu formulieren. Auf Grund der Nichtlinearität der zu betrachtenden Probleme treten weitere erhebliche Schwierigkeiten auf, die im Grunde bereits von Regularitätsbeweisen für Lösungen nichtlinearer parabolischer Differentialgleichungen im n-dimensionalen euklidischen Raum bekannt sind. Diese müssen nunmehr auf der Ebene reiner Minimierungsprobleme -- ohne assoziierte Differentialgleichung -- studiert werden.