Third party funded individual grant
Start date : 01.01.2016
Unendlichdimensionale Lie-Gruppen treten in allen Bereichen der Mathematik und anderer Wissenschaften auf, wo es Symmetrien gibt, die von unendlich vielen Parametern abhängen. Das Ziel dieses Projekts ist ein systematisches Verständnis von Konvexitätseigenschaften unendlichdimensionaler Lie-Algebren. Konkretes Ziel ist hierbei die Klassifikation offener konvexer Kegel, die unter der adjungierten Wirkung invariant sind. Im Dualraum der Lie-Algebra möchten wir diejenigen invarianten konvexen Teilmengen bestimmen, die halb-gleichstetig sind, d.h. ihr Trägerfunktional ist in der Umgebung eines Punktes beschränkt. Ein zentraler Punkt dieses Projekts ist das Verständnis von Projektionen von adjungierten und koadjungierten Bahnen auf Unteralgebren; Resultate dieses Typs nennt man Konvexitätssätze. Klassische Konvexitätssätze betreffen meist Projektionen auf abelsche Unteralgebren, wo Bahnprojektionen of konvexe Hüllen von Weylgruppen-Bahnen sind. Die Konvexitätssätze von Schur-Horn, Kostant, Atiyah-Pressley und Kac-Peterson sind von diesem Typ. Wir zielen auf eine systematische Verallgemeinerung dieser Resultate auf größere Klassen von Lie-Algebren und Projektionen auf allgemeinere Unteralgebren ab. Motiviert ist dieses Projekt insbesondere durch seine Anwendungen in der unitären Darstellungstheorie, wo eine gute Kenntnis offener invarianter Kegel grundlegend für die Bestimmung von Spektralschranken von Operatoren der abgeleiteten Darstellung ist. Die Menge aller Elemente, die durch nach unten beschränkte Operatoren dargestellt werden, ist ein invarianter konvexer Kegel. Besitzt er innere Punkte, so nennen wir die Darstellung halbbeschränkt. Diese Eigenschaft ist eine stabile Variante der Positivität der Energie, die viele Darstellungen auszeichnet, die in der Quantenmechanik auftreten. Typische Lie-Algebren, die wir untersuchen, sind direkte Limiten endlichdimensionaler Lie-Algebren und ihre Vervollständigungen, hermitesche Lie-Algebren (die zu Automorphismengruppen von symmetrischen Hilbert-Gebieten gehören) und sogenannte Doppelerweiterungen von Hilbert-Lie Algebren (enge Verwandte der endlichdimensionalen kompakten Lie-Algebren) und von Schleifenalgebren mit unendlich dimensionaler Wertealgebra. Letztere sind Verallgemeinerungen von affinen Kac-Moody-Algebren mit unendlichdimensionalem Rang. Der Fokus dieses Projekts liegt in der Kombination struktureller Eigenschaften unendlichdimensionaler Lie-Algebren mit funktionalanalytischen und geometrischen Methoden, um eine konkrete Beschreibung invarianter konvexer Kegel und halb-gleichstetiger koadjungierter Bahnen zu erhalten.