Third party funded individual grant
Start date : 17.10.2013
End date : 31.12.2018
Ziel dieses Projektes ist, ein möglichst umfassendes Verständnis von Evolutionsgleichungen unter nicht Standard-Wachstumsbedingungen (sog. p,q-Wachstum) an die Koeffizienten zu erlangen. Im stationären elliptischen Fall wurde die entsprechende Klasse von Differentialgleichungen / Variationsintegralen mit p,q-Wachstum Ende der 80er Jahre von P. Marcellini entdeckt. Dabei fand er überraschenderweise Beispiele von Minimierern von Variationsintegralen mit Singularitäten. Seit der Einführung durch Marcellini sind derartige Differentialgleichungen / Variationsintegrale von großem Interesse. Fragen nach der Existenz, Regularität und Irregularität von Lösungen bzw. Minimierern spielen in diesem Zusammenhang eine zentrale Rolle. Zum stationären Fall existiert eine breite Literatur mit einer Vielzahl von Resultaten. Im Gegensatz dazu ist der zeitabhängige parabolische Fall nahezu völlig offen. Hier gibt es nur Resultate in einigen wenigen Spezialfällen. Der Grund dafür dürfte die größere Komplexität des parabolischen Falles sein. So war zum Beispiel noch nicht einmal der richtige Lösungsbegriff bekannt. In den zwei Arbeiten [V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini, Parabolic equations with p,q-growth. J. Math. Pures Appl. (9), DOI:10.1016/j.matpur.2013.01.012.] und [V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini. Parabolic systems with p,q-growth: a variational approach. Arch. Ration. Mech. Anal., DOI:10.1007/s00205-013-0646-4] wurden zwei Lösungskonzepte eingeführt, die jeweils durch einen Existenzsatz abgesichert wurden. Zum einen wurde das Konzept der schwachen Lösung, zum anderen das einer Variationslösung (eines parabolischen Minimierers) eingeführt. Letzterer erweist sich als wesentlich flexibler, da a priori weniger Regularität an die Lösung (und an die Regularität des Integranden) vorausgesetzt werden muss. Die beiden oben erwähnten Arbeiten stellen den Ausgangspunkt einer systematischen Untersuchung parabolischer Probleme mit p,q-Wachstum dar.Im beantragten Projekt soll eine möglichst allgemeine und umfassende Existenz- und Regularitätstheorie für derartige Probleme entwickelt werden. Insbesondere soll ein Existenzbeweis gefunden werden, der nur auf Methoden der Variationsrechnung basiert. Damit würde ein natürlicher Zugang zu parabolischen Variationslösungen etabliert werden.